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过原点做两条互相垂直的直线,分别交抛物线y^2=2px(p>0)于A、B两点,求原点O在直线AB上的射影M的轨迹方程.
题目详情
过原点做两条互相垂直的直线,分别交抛物线y^2=2px(p>0)于A、B两点,求原点O在直线AB上的射影M的轨迹方程.
▼优质解答
答案和解析
A(x1,y1),B(x2,y2)
设直线AB的斜率为k,点M的坐标为(x,y),因为OM垂直直线AB,所以OM的斜率为-1/k,设直线AB的方程为y=kx+b,代入抛物线中得到方程:ky^2-2py+2pb=0
则y!*y2=2pb/k
则y1*y2/4p^2+1=0,
=>b=-2kp,
可以得到AB的直线方程为:y=kx-2pk,点M也在直线AB上,又因为y/x=-1/k,
所以可以得到点M的轨迹方程为:(x-p)^2+y^2=p^2
设直线AB的斜率为k,点M的坐标为(x,y),因为OM垂直直线AB,所以OM的斜率为-1/k,设直线AB的方程为y=kx+b,代入抛物线中得到方程:ky^2-2py+2pb=0
则y!*y2=2pb/k
则y1*y2/4p^2+1=0,
=>b=-2kp,
可以得到AB的直线方程为:y=kx-2pk,点M也在直线AB上,又因为y/x=-1/k,
所以可以得到点M的轨迹方程为:(x-p)^2+y^2=p^2
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