一个正四棱锥（底面为正方形,顶点在底面的射影为底面中心的四棱锥）和一个正方体,他们有半径相同的内切球,记四棱锥的体积v1,正方体的体积v2,且v1＝kv2,则实数k的最小值为

Question

一个正四棱锥（底面为正方形,顶点在底面的射影为底面中心的四棱锥）和一个正方体,他们有半径相同的内切球,记四棱锥的体积v1,正方体的体积v2,且v1＝kv2,则实数k的最小值为

Answer 1

设四棱锥侧面与底面的夹角为2α,(0则：四棱锥的底边长=2R/tanα,
高=(R/tanα)/tan2α=R*tan2α/tanα,
——》v1=1/3*(2R/tanα)^2*(R*tan2α/tanα)=4R^3*tan2α/3(tanα)^3,
正方体的边长=2R,
——》v2=(2R)^3=8R^3,
——》k=v1/v2=tan2α/6(tanα)^3=1/3tan^2α(1-tan^2α),
令tan^2α=x,0k=1/3x(1-x),
0<3x(1-x)=3*[1/4-(x-1/2)^2]<=3/4,
——》k>=4/3,
即k的最小值为4/3.