已知O为△ABC的外心,AB=1,AC=2,∠BAC=120°,设向量AB=a,向量AC=b,(λa+b)平行向量AO,则λ=?如题.

Question

已知O为△ABC的外心,AB=1,AC=2,∠BAC=120°,设向量AB=a,向量AC=b,(λa+b)平行向量AO,则λ=?如题.

Answer 1

由已知得 |a|^2=1 ,|b|^2=4 ,AB*AC=|a|*|b|*cos120°= -1 ,
设 AO=xa+yb ,
由于 O 是三角形 ABC 外心,因此 O 在 AB、AC 边的射影分别是 AB、AC 的中点,
因此 AO*AB=|AO|*|AB|*cos∠OAB=1/2*|AB|*|AB|=1/2 ,
即 (xa+yb)*a=1/2 ,所以 x-y=1/2 ,--------------①
同理有 AO*AC=1/2*|AC|^2=2 ,
即 (xa+yb)*b=2 ,所以 -x+4y=2 ,---------------②
由以上两式解得 x=4/3 ,y=5/6 ,
因此 AO=4/3*a+5/6*b ,
由于 λa+b 与 4/3*a+5/6*b 平行,
则 λ/(4/3)=1/(5/6) ,
解得 λ=8/5 .