早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知:三棱锥P-ABC,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
题目详情
已知:三棱锥P-ABC,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.
(1)求证:PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
(1)求证:PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图所示,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.
又PA⊂平面PAC,∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G,同理可证:DG⊥PA.
∵DG、DF都在平面ABC内且DG∩DF=D,
∴PA⊥平面ABC;
(2)连结BE并延长交PC于H,
∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.
又已知AE是平面PBC的垂线,PC⊂平面PBC,
∴PC⊥AE.
又BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE.
又AB⊂平面ABE,∴PC⊥AB.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.
又PC∩PA=P,∴AB⊥平面PAC,
又AC⊂平面PAC,∴AB⊥AC,
即△ABC是直角三角形.

∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.
又PA⊂平面PAC,∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G,同理可证:DG⊥PA.
∵DG、DF都在平面ABC内且DG∩DF=D,
∴PA⊥平面ABC;
(2)连结BE并延长交PC于H,
∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.
又已知AE是平面PBC的垂线,PC⊂平面PBC,
∴PC⊥AE.
又BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE.
又AB⊂平面ABE,∴PC⊥AB.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.
又PC∩PA=P,∴AB⊥平面PAC,
又AC⊂平面PAC,∴AB⊥AC,
即△ABC是直角三角形.
看了 已知:三棱锥P-ABC,平面...的网友还看了以下:
如图,P为△ABC点,<APB=<BPC,将△ABP绕B点旋转60度到△A'BP',此时A',P' 2020-04-26 …
已知三角形ABC的三个顶点,A,B,C及平面一点P,满足向量PA+向量PB+向量PC=向量AB,则 2020-04-27 …
这个怎么算?已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/ 2020-05-13 …
1.已知p,p1为指针变量,a为数组名,j为整型变量,下列赋值语句中不正确的是().(A)p=&j 2020-05-13 …
已知三角形ABC的三个顶点A,B,C及所在平面内一点P满足PA向量+PB向量+PC向量=AB向量, 2020-05-13 …
在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A、B),过点P的直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相 2020-05-16 …
下列最不符合三度房室传导阻滞的是A.P与QRS无传导关系B.心房率快于心室率C.P 2020-05-17 …
下列关于IP地址的叙述中,错误的是A.p地址由网络地址与主机地址两部分组成B.根据不同的取值范围,I 2020-05-23 …
下列有关p和标准差的表述,正确的有( ) A.p测定系统风险,而标准差测度非系统风险B.p测 2020-05-30 …
下列有关p和标准差的表述,正确的有( )A.p测定系统风险,而标准差测度非系统风险B.p测 2020-05-30 …