高一数学向量外心与垂心的向量表示关系证明O是三角形ABC的外心,H为垂心,求证：向量OH=向量OA+向量OB+向量OC

Question

高一数学 向量 外心与垂心的向量表示关系证明
O是三角形ABC的外心,H为垂心,求证：向量OH=向量OA+向量OB+向量OC

Answer 1

这个题目比较麻烦,又没图,只能写下大概做法了,做法是大概的思考过程,可自行画下图就明白了
先将向量OB和向量OC相加,得到向量OD（向量OD过BC中点）
然后证向量OD+向量OA=向量OH
即证AHOD为平行四边形
首先OD∥AH（都垂直BC）
现在只要证AH=OD=2OE（E为OD和BC交点,即平行四边形OCDB的对角线交点）就成立了
延长CO交圆O于F
由于CF是直径,所以 AF垂直AC,FB⊥BC
又BH垂直AC,AH垂直BC
∴AF∥BH,FB∥AH
∴AHBF是平行四边形
　ＡＨ＝ＦＢ＝２ＯＥ　于是命题成立