锐角三角形垂心分割各高的比例(Urgent!)锐角三角形ABC三条高分别为AD,CF,BE,其交点为H,即H为垂心.请证明HD/AD+HE/BE+HF/CF=1;AH/AD+BH/BE+CH/CF=2.

Question

锐角三角形垂心分割各高的比例(Urgent!)
锐角三角形ABC三条高分别为AD,CF,BE,其交点为H,即H为垂心.请证明
HD/AD + HE/BE + HF/CF =1;
AH/AD + BH/BE + CH/CF = 2.

Answer 1

HD/AD=S(△BHC)/S(△ABC),
HE/BE=S(△CHA)/S(△ABC),
HF/CF=S(△AHB)/S(△ABC),
三式相加,得HD/AD + HE/BE + HF/CF =S(△BHC)/S(△ABC)+S(△CHA)/S(△ABC)+S(△AHB)/S(△ABC)=S(△ABC)/S(△ABC)=1.
AH/AD + BH/BE + CH/CF =(1-HD/AD)+(1-HE/BE)+(1-HF/CF)=3-1=2.