点O、A、B依次在直线l上，且|OA|=4|AB|，过B作直线l的垂线，M是这一垂线上的动点，以O为圆心，OA为半径作圆，ME、MF是圆O的两条切线，E、F为切点，求△MEF的垂心H的轨迹方程．

Question

点O、A、B依次在直线l上，且|OA|=4|AB|，过B作直线l的垂线，M是这一垂线上的动点，以O为圆心，OA为半径作圆，ME、MF是圆O的两条切线，E、F为切点，求△MEF的垂心H的轨迹方程．

Answer 1

以O为原点，直线OA为x轴建立坐标系，T为OM与圆的交点，N为EF与OM的交点，记AB=1．以O为圆心的圆方程为x²+y²=16，连结OE，OF．因为OF⊥MF，ET⊥MF，所以OF∥ET，
同理OE∥TF，又OE=OF，所以OETF是菱形．
所以2ON=OT，即T就是H．又因为OM⊥EF，ON⊥ME，所以OE²=ON•OM．
设点H坐标为（x，y）．
点M坐标为（5，b），则点N坐标为（(x)/(2)，(y)/(2)），将坐标代入OE²=ON•OM，再由(b)/(5)＝(y)/(x)得(x−(16)/(5))2+y2＝((16)/(5))2．