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如图,已知H为锐角△ABC的垂心,D是使四边形AHCD为平行四边形的一点,过BC的中点M作AB的垂线,垂足为N,K为MN的中点,过点A作BD的平行线交MN于点G,若A,K,M,C四点共圆.求证:直线BK平分
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如图,已知H为锐角△ABC的垂心,D是使四边形AHCD为平行四边形的一点,过BC的中点M作AB的垂线,垂足为N,K为MN的中点,过点A作BD的平行线交MN于点G,若A,K,M,C四点共圆.求证:直线BK平分线段CG.


▼优质解答
答案和解析
证明:如图,

设BK交CG于E,连接AG,AK,
∵A,K,M,C四点共圆,
∴∠ACB=∠AKG(外角等于内对角),
∵H是△ABC的垂心,
∴AH⊥BC,CH⊥AB,
∵四边形AHCD是平行四边形,
∴CH∥AD,AH∥CD,
∴CD⊥BC,AD⊥AB,
∴∠BCD=∠BAD=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴点A,B,C,D四点共圆,
∴∠5=∠ACB=∠AKG,
∵AH⊥BC,
MN⊥AB,AD⊥AB,
∴∠1=∠2=∠4,
∵AG∥BD,
∴∠3=∠4=∠2,
在△ANG和△ANK中,
,
∴△ANG≌△ANK,
∴GN=KN=MK,
∴MK=
KG,
∵直线BKE截得△GMC,
由梅涅劳定理得:
•
•
=1,
∵点M是CB中点,
∴CB=2BM,
∴GE=EC,
∴直线BK平分线段CG.

设BK交CG于E,连接AG,AK,
∵A,K,M,C四点共圆,
∴∠ACB=∠AKG(外角等于内对角),
∵H是△ABC的垂心,
∴AH⊥BC,CH⊥AB,
∵四边形AHCD是平行四边形,
∴CH∥AD,AH∥CD,
∴CD⊥BC,AD⊥AB,
∴∠BCD=∠BAD=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴点A,B,C,D四点共圆,
∴∠5=∠ACB=∠AKG,
∵AH⊥BC,
MN⊥AB,AD⊥AB,
∴∠1=∠2=∠4,
∵AG∥BD,
∴∠3=∠4=∠2,
在△ANG和△ANK中,
|
∴△ANG≌△ANK,
∴GN=KN=MK,
∴MK=
1 |
2 |
∵直线BKE截得△GMC,
由梅涅劳定理得:
GE |
EC |
CB |
BM |
MK |
KG |
∵点M是CB中点,
∴CB=2BM,
∴GE=EC,
∴直线BK平分线段CG.
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