→→→→如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证：OH=OA+OB+OCH在BD上,然后作AH⊥BC,CH⊥BA,得到AHCD是平行四边形,可是主要是要证点BHD共线

Question

→ → → → 如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证：OH=OA+OB+OC

H在BD上,然后作AH⊥BC,CH⊥BA,得到AHCD是平行四边形,可是主要是要证点B　　H　　D共线

Answer 1

注,以字母直接表示向量,如AH表示向量AH

由 AH*BC=0 得 AH*BC=(OH-OA)*BC=0
又(OB+OC)*BC=0 （显然中垂线垂直于边BC）
相减得 (OH-OA-OB-OC)*BC=0
同理得 (OH-OA-OB-OC)*AC=0
若(OH-OA-OB-OC)不为零向量,则其同时垂直于BC和AC,而BC和AC不互相平行,矛盾
所以OH-OA-OB-OC必须为零向量
即OH=OA+OB+OC