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锐角三角形ABC中,H是垂心,D是BC中点,延长HD,交△ABC的外接圆于E,则D是HE中点
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锐角三角形ABC中,H是垂心,D是BC中点,延长HD,交△ABC的外接圆于E,则D是HE中点
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答案和解析
设外心为O,外接圆半径为R.作过A的直径,交外接圆于F,作三角形AFH与OFD.直接计算表明：OD=RcosA,AH=2RcosA,于是AF/OF=AH/OD=2.而AH与OD同时垂直于BC,从而二者平行,得到∠FOD=∠FAH,于是AFH与OFD相似.此时,∠OFD=∠AFH,而直线AF与OF重合,FD与FH在AF的同侧,于是直线FD与FH重合,即E=F（两者同为HD延长后与外接圆的交点）.于是由相似性,HE/DE=HF/DF=2,即D是HE的中点.
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