证明：垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上三角形四心问题

Question

证明：垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上
三角形四心问题

Answer 1

设△ABC垂心为O,O关于AB,BC,CA的对称点分别为O1,O2,O3
设直线BO,CO分别交BC于H1,H2
注意到∠AH1O=90°,∠AH2O=90°
∴∠AH1O+∠AH2O=180°
∴∠BAC+∠H1OH2=180°,即∠BAC+∠BOC=180°
又易知∠BOC=∠BO2C
∴∠BAC+∠BO2C=180°
∴A,B,O2,C四点共圆
即O2在△ABC外接圆上
同理,O1,O2,O3均在△ABC外接圆上