已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求△FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）

Question

已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

Answer 1

（1）∵正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
∵DG=2，
∴HG=2√(5)，即菱形EFGH的边长为2√(5)．
在△AHE和△DGH中，
∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2√(5)，
∴△AHE≌△DGH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DGH+∠DHG=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，
同理可以证明△DGH≌△CFG，
∴∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，
从而S_△FCG=(1)/(2)×4×2=4．（2分）

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，

∠A＝∠M

∠AEH＝∠FGM

HE＝FG

∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此S_△FCG=(1)/(2)×2×（6-x）=6-x．（6分）

（3）若S_△FCG=1，由（2）知S_△FCG=6-x，得x=5，
∴在△DGH中，HG=√(41)，
∴在△AHE中，AE=√(37)＞6，即点E已经不在边AB上．
∴不可能有S_△FCG=1．（9分）
另法：∵点G在边DC上，
∴菱形的边长至少为DH=4，
当菱形的边长为4时：
∵点E在AB边上且满足AE=2√(3)，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，
∴最大值为HE=2√(10)．
此时，DG=2√(6)，故0≤x≤2√(6)．
∵函数S_△FCG=6-x的值随着x的增大而减小，
∴当x=2√(6)时，S_△FCG取得最小值为6-2√(6)．
又∵6-2√(6)＞6−2√(6.25)=1，
∴△FCG的面积不可能等于1．（9分）