如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上的点，且AE=CF，BE和BF交AC于点M、N．（1）求证：AM=CN；（2）联结BD，如果BD是AC与MN的比例中项，求证：BE⊥AD．

Question

如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上的点，且AE=CF，BE和BF交AC于点M、N．

（1）求证：AM=CN；
（2）联结BD，如果BD是AC与MN的比例中项，求证：BE⊥AD．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BAM=∠BCN，∠BAE=∠DAE=∠DCA=∠BCF，
又∵∠AMB=∠CNB=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，

∠BAE=∠BCF

AB=BC

∠ABE=∠CBF

，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF．
（2）如图2中，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠BAC=∠DAC，
∵AM=CN（由（1）可知），
∴OM=ON，
∴BD=2OB，AC=2AO，MN=2OM，
∵BD²=MN•AC，
∴4•OB²=2OM•2OA，
∴OB²=OM•OA，
∴(OB)/(OM)=(OA)/(OB)，∵∠BOM=∠AOB=90°，
∴△BOM∽△AOB，
∴∠OBM=∠BAO=∠DAC，
∵∠OBM+∠BMO=90°，∠AME=∠OMB，
∴∠EAM+∠AME=90°，
∴∠AEM=90°，即BE⊥AD．