如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E和F，且AE<12AC，AE=CF．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）求AC的长．（3）当AE的长为时，四边形DEBF是正方

Question

如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E和F，且AE< (1)/(2)AC，AE=CF．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）求AC的长．
（3）当AE的长为___时，四边形DEBF是正方形（不必证明）．

Answer 1

（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；

（2） 在菱形ABCD中，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，
则AD=4，∠DAO=30°，AC⊥BD且AC=2OA，
在直角△AOD中，OA=AD•cos30°=4×(√(3))/(2)=2√(3)，
故AC=2OA=4√(3)；

（3） 当AE=2√(3)-2时，四边形DEBF是正方形．理由如下：
由（1）知，四边形DEBF是菱形．
当OD=OE时，四边形DEBF是正方形．
∵在直角△AOD中，∠DAO=30°，AD=4，
∴OD=(1)/(2)AD=2，OA=2√(3)，
∴AE=OA-OD=2√(3)-2．
故答案是：2√(3)-2．