如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．（1）求证：∠AFD=∠EBC；（2）是否存在这样一个菱形，当DE=EC时，刚好BE⊥AF？若存在，求出∠DAB

Question

如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．

（1）求证：∠AFD=∠EBC；
（2）是否存在这样一个菱形，当DE=EC时，刚好BE⊥AF？若存在，求出∠DAB的度数；若不存在，请说明理由；
（3）若∠DAB=90°，且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴DC=CB，
在△DCE和△BCE中

DC=CB

∠DCE=∠BCE

EC=EC

，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠EDC=∠EBC，
由DC∥AB得，∠EDC=∠AFD，
∴∠AFD=∠EBC；
                         
（2） ∵DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，则∠CBF=2x°，
由BE⊥AF得：2x+x=90°，
解得：x=30°，
∴∠DAB=60°；    
                           
（3）分两种情况：
①如图1，当F在AB延长线上时，

∵∠EFB为钝角，
∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，
可通过三角形内角形为180°得：
90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°；
②如图2，当F在线段AB上时，

∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，
可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°，
综上：∠EFB=30°或120°．