在正方体A1B1C1D1＿ABCD中,画出对角线AC1与平面A1BD及平面B1CD1的交点E,F,并证明E,F将对角线AC1三等分.

Question

在正方体A1B1C1D1＿ABCD中,画出对角线AC1与平面A1BD及平面B1CD1的交点E,F,并证明E,F将对角线AC1三等分.

Answer 1

你好：
这个证明方法很多,我用等积法证明,
设此正方体棱长为a,则AC1=a*√3,BD=A1D=A1B=a*√2,
三棱锥A-BDA1的体积为：
V(A1-ABD)
=(1/3)[(1/2)*AB*AD]*AA1
=a?/6,
由三垂线定理可得AC1与面BDA1垂直,也与CB1D1垂直,
同时以三角形BDA1为底,得
V(A-BDA1)
=(1/3)[(√3/4)BD?]*AE
=(√3/6)a?*AE
∴AE=(√3/3)a=AC1/3,
同理可得C1F=AC1/3,
即E、F三等分AC1,
谢谢!