如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．

Question

如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．

Answer 1

（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE=BD，
又∵CD是边AB上的中线，
∴BD=AD，
∴CE=DA，
又∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形；

（2） 过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）可知，BC=DE，
设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=√(5)x．
∵(1)/(2)AB•CF=(1)/(2)AC•BC，
∴CF=(AC•BC)/(AB)=(2√(5))/(5)x．
∵CD=(1)/(2)AB=(√(5))/(2)x，
∴sin∠CDB=(CF)/(CD)=(4)/(5)．