已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0)(0,3),现有两动点P,Q分别从A,C同时出发已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为（4,0）（0,3）,现有两动点P,Q分别

Question

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0)(0,3),现有两动点P,Q分别从A,C同时出发
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为（4,0）（0,3）,现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,速度为每秒一个单位,点Q沿折线CBA向终点A运动,速度为每秒2个单位,设运动时间为t秒.
（1）若四边形PQCD为平行四边形,求t的值
（2）若以PQCD为顶点的四边形为等腰梯形,求t的值
（3）是否存在某一时刻,使得P,Q两点同时在反比例函数y=m/x的两个分支上,若存在,求出此时t与m的值.

Answer 1

分析：（1）如图1,过B点作BH⊥CD,垂足为H,由菱形的性质可知OB=OD=3,OA=OC=4,在Rt△COD中,由勾股定理求CD,根据S菱形ABCD=4S△COD求菱形面积,再根据S菱形ABCD=CD×BH求h；
（2）根据P、Q两点运动速度表示AP,DQ,由S梯形APQD=
1
3
S菱形ABCD,或S梯形APQD=
2
3
S菱形ABCD,两种情况分别求x的值；
（3）根据P、Q两点运动速度表示AP,CQ,根据梯形面积公式表示y,再根据函数的性质求y的最大值及此时x的值．
（1）如图1,过B点作BH⊥CD,垂足为H,
∵四边形ABCD为菱形,
∴OB=OD=3,OA=OC=4,
在Rt△COD中,CD=
OC2 OD2
=5,
∴S菱形ABCD=4S△COD=4×
1
2
×4×3=24,
又∵S菱形ABCD=CD×BH,即5h=24,解得h=
24
5
；
（2）依题意,得AP=x,DQ=5-2x,则S梯形APQD=
1
2
（x 5-2x）×
24
5
=
12
5
（5-x）,
当S梯形APQD=
1
3
S菱形ABCD时,
12
5
（5-x）=8,解得x=
5
3
,
当S梯形APQD=
2
3
S菱形ABCD时,
12
5
（5-x）=16,解得x=-
5
3
（舍去）；
（3）存在．
当点Q在CD上时,如图2,依题意,得AP=x,CQ=2x,
∴y=
1
2
（x 2x）×
24
5
=
36
5
x（0≤x≤
5
2
）,
当x=
5
2
时,y有最大值,最大值为
36
5
×
5
2
=18,⊙
此时P点在线段AB的中点,Q点与D点重合；
当点Q在AD上时,如图3,
y=
1
2
（x 10-2x）×
24
5
=24-
12
5
x（
5
2
＜x＜5）,
y无最大值．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据题意求菱形的边长,高,面积,根据梯形的面积公式列方程求解．