如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3.(1)求MP的值;(2)在AB边上
如图,在矩形纸片 ABCD 中, AB=4 , AD=12 ,将矩形纸片折叠,使点 C 落在 AD 边上的点 M 处,折痕为 PE ,此时 PD=3 .
( 1 )求 MP 的值;
( 2 )在 AB 边上有一个动点 F ,且不与点 A , B 重合.当 AF 等于多少时, △MEF 的周长最小?
( 3 )若点 G , Q 是 AB 边上的两个动点,且不与点 A , B 重合, GQ=2 .当四边形 MEQG 的周长最小时,求最小周长值.(计算结果保留根号)
( 1 ) ∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴CD=AB=4 , ∠D=90° ,
∵ 矩形 ABCD 折叠,使点 C 落在 AD 边上的点 M 处,折痕为 PE ,
∴PD=PH=3 , CD=MH=4 , ∠H=∠D=90° ,
∴MP= =5 ;
( 2 )如图 1 ,作点 M 关于 AB 的对称点 M′ ,连接 M′E 交 AB 于点 F ,则点 F 即为所求,过点 E 作 EN⊥AD ,垂足为 N ,
∵AM=AD ﹣ MP ﹣ PD=12 ﹣ 5 ﹣ 3=4 ,
∴AM=AM′=4 ,
∵ 矩形 ABCD 折叠,使点 C 落在 AD 边上的点 M 处,折痕为 PE ,
∴∠CEP=∠MEP ,
而 ∠CEP=∠MPE ,
∴∠MEP=∠MPE ,
∴ME=MP=5 ,
在 Rt△ENM 中, MN= =
=3 ,
∴NM′=11 ,
∵AF∥ME ,
∴△AFM′∽△NEM′ ,
∴ =
,即
=
,解得 AF=
,
即 AF= 时, △MEF 的周长最小;
( 3 )如图 2 ,由( 2 )知点 M′ 是点 M 关于 AB 的对称点,在 EN 上截取 ER=2 ,连接 M′R 交 AB 于点 G ,再过点 E 作 EQ∥RG ,交 AB 于点 Q ,
∵ER=GQ , ER∥GQ ,
∴ 四边形 ERGQ 是平行四边形,
∴QE=GR ,
∵GM=GM′ ,
∴MG+QE=GM′+GR=M′R ,此时 MG+EQ 最小,四边形 MEQG 的周长最小,
在 Rt△M′RN 中, NR=4 ﹣ 2=2 ,
M′R= =5
,
∵ME=5 , GQ=2 ,
∴ 四边形 MEQG 的最小周长值是 7+5 .
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