如图,在三角形BAC中,角A=90度,角B=60度,作AD垂直于BC,垂足为D,E为边AB上一点连接CE交AD于点P,点F为线段CE上一点,且CF:EF=3：1,连接FD（1）求证：FD//AB（2）当AB=2,且S三角形DFP:S三角形AEP=4：9求BE

Question

如图,在三角形BAC中,角A=90度,角B=60度,作AD垂直于BC,垂足为D,E为边AB上一点
连接CE交AD于点P,点F为线段CE上一点,且CF:EF=3：1,连接FD（1）求证：FD//AB （2）当AB=2,且S三角形DFP:S三角形AEP=4：9求BE

Answer 1

证明（1）∵COS60°=BD/AB=AB/BC=1/2
∴BD/BC=1/4∴CD/BC=3/4
又∵CF/EF=3/1∴CF/CE=3/4=CD/BC
∴FD∥AB
(2)∵FD∥AB所以∠FDP=∠PAE又∵又∠FPD与∠APE互为对角∴∠FPD=∠APE
∴△DPF∽△APE
∴DF/AE=DP/AP
∴S△DFP:S△AEP=1/2*DF*DP*sin∠FDP:1/2*AE*AP*sin∠PAE
=DF*DP/AP*AE
=DF²/AE²
=4/9
∴DF/AE=2/3
又∵DF/BE=3/4∴DF=3/4*BE且AE=AB-BE=2-BE
∴DF/AE=2/3=3/4*BE/（2-BE)
解得BE=16/17