线段AB与平面a平行，平面a的斜线AA1、BB1与a所成的角分别是30°和60°，A1、B1为斜足，且∠A1AB=∠B1BA=90°，AB=a，A1B1=b(a<b)．求直线AB到平面a的距离．

Question

线段AB与平面a平行，平面a的斜线AA₁、BB₁与a所成的角分别是30°和60°，A₁、B₁为斜足，且∠A₁AB=∠B₁BA=90°，AB=a，A₁B₁=b(a<b)．求直线AB到平面a的距离．

Answer 1

    分别作AC⊥平面、BD⊥平面，垂足分别为C、D，连结CD．

    ∵AB∥平面，∴AB∥CD，AC⊥CD，BD⊥CD．

    又AB⊥A₁A，AB⊥B₁B，

    ∴AB⊥平面AA₁C，AB⊥平面BB₁D．

    ∴平面AA₁C∥平面BB₁D．

    ∴A₁C∥B₁D．

    (1)如图所示，当斜足A₁、B₁在CD的同侧时，在平面，作B₁E⊥A₁C．垂足为E，则∠A₁EB₁=90º．又知∠AA₁C=30º，∠BB₁D=60º．

    设BD=x，则

    在Rt△A₁EB₁中，

    ∴，即

    (2)如图所示，当斜足A₁、B₁在CD的异侧时，在平面内，作A₁E⊥B₁D交B₁D延长线于E．

    设BD=x，则B₁E=B₁D+A₁C=

    在Rt△A₁EB₁中，

   

    ，

    ∴，

    即．