线段AB与平面α平行，平面α的斜线AA1、BB1与α所成的角分别是和，A1、B1为斜足，且∠A1AB＝∠B1BA＝，AB＝a，A1B1＝b(a＜b)．求直线AB到平面a的距离．

Question

线段AB与平面α平行，平面α的斜线AA ₁ 、BB ₁ 与α所成的角分别是 和 ，A ₁ 、B ₁ 为斜足，且∠A ₁ AB＝∠B ₁ BA＝ ，AB＝a，A ₁ B ₁ ＝b(a＜b)．求直线AB到平面a的距离．

Answer 1

答案：
解析：
　　思路　　分别作AC⊥平面α，BD⊥平面α，垂足分别为C、D，连结CD 　　思路　　分别作AC⊥平面α，BD⊥平面α，垂足分别为C、D，连结CD．考虑到无法确定点A1、B1和CD的同侧还是异侧，所以本题需分两种情形进行求解． 　　解答　　分别作AC⊥平面α、BD⊥平面α，垂足分别为C、D．连结CD． 　　∵AB∥平面α，∴AB∥CD，AC⊥CD，BD⊥CD． 　　又AB⊥A1A，AB⊥B1B， 　　∴AB⊥平面AA1C，AB⊥平面BB1D． 　　∴平面AA1C∥平面BB1D，∴A1C∥B1D． 　　(1)如图所示，当斜足A1、B，在CD的同侧时，在平面α内，作B1E⊥A1C，垂足为E，则∠A1EB1＝．又知∠AA1C＝，∠BB1D＝． 　　设BD＝x，则B1D＝x， 　　A1C＝x，A1E＝A1C－B1D＝x－x＝x． 　　在Rt△A1EB1中， 　　A1E＝＝＝． 　　∴x＝，即x＝． 　　(2)如图所示，当斜足A1、B1在CD的异侧时，在平面α内，作A1E⊥B1D，交B1D延长线于E． 　　设BD＝x，则B1E＝B1D＋A1C＝x． 　　在Rt△A1EB1中，B1E＝＝＝ 　　∴x＝即x＝ 　　评析　　本题并不是一个难点，关键点在分类讨论