线性代数问题设A是4阶矩阵,伴随矩阵A*的特征值是-1,2,-4,8,则矩阵A的全部特征值是?答案是-4,2,-1,1/2.

Question

线性代数问题
设A是4阶矩阵,伴随矩阵A*的特征值是-1,2,-4,8 ,则矩阵 A的全部特征值是?答案是-4,2,-1,1/2.

Answer 1

解: 若a是|A|的特征值, 则|A|/a是A*的特征值
反之, 若b是A*的特征值, 则|A|/b是A的特征值.
由A*的特征值是-1,2,-4,8
得 |A*| = (-1)*2*(-4)*8 = 64 = 2^6.
而 |A*|=|A|^(4-1)=|A|^3
所以 |A| = 2^2 = 4.
由上知A的特征值为 4/(-1),4/2,4/(-4),4/8
即 -4,2,-1,1/2.
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