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如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP=12BD;③BN+DQ=NQ;④AB+BNBM为定值.其中一定成立的是()
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如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP=
BD;③BN+DQ=NQ;④
为定值.其中一定成立的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
1 |
2 |
AB+BN |
BM |

B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
▼优质解答
答案和解析
如图:作AU⊥NQ于U,连接AN,AC,
∵∠AMN=∠ABC=90°,
∴A,B,N,M四点共圆,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴由等角对等边知,AM=MN,故①正确.
由同角的余角相等知,∠HAM=∠PMN,
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP=AH=
AC=
BD,故②正确,
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°,
∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR,使AD和AB重合,在连接AN,证明三角形AQN≌ANR,得NR=NQ
则BN=NU,DQ=UQ,
∴点U在NQ上,有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正确.
如图,作MS⊥AB,垂足为S,作MW⊥BC,垂足为W,点M是对角线BD上的点,
∴四边形SMWB是正方形,有MS=MW=BS=BW,
∴△AMS≌△NMW,
∴AS=NW,
∴AB+BN=SB+BW=2BW,
∵BW:BM=1:
,
∴
=
=
,故④正确.
故选D.

∵∠AMN=∠ABC=90°,
∴A,B,N,M四点共圆,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴由等角对等边知,AM=MN,故①正确.
由同角的余角相等知,∠HAM=∠PMN,
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP=AH=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°,
∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR,使AD和AB重合,在连接AN,证明三角形AQN≌ANR,得NR=NQ
则BN=NU,DQ=UQ,
∴点U在NQ上,有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正确.

∴四边形SMWB是正方形,有MS=MW=BS=BW,
∴△AMS≌△NMW,
∴AS=NW,
∴AB+BN=SB+BW=2BW,
∵BW:BM=1:
2 |
∴
AB+BN |
BM |
2 | ||
|
2 |
故选D.
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