已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，且DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=2CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN∴∠ABC+

Question

已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，且DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=√(2)CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN∴∠ABC+∠CBD=90°，
∵CE⊥CB∴∠ABC+∠CEA=90°，
∴∠CBD=∠CEA．
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=√(2)CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=√(2)CB．

（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．
（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．

Answer 1

（1）AB-BD=√(2)CB．
证明：如图（2）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE

AC=DC

∠CAE=∠D

∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=√(2)CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=√(2)CB．
（2）BD-AB=√(2)CB．
如图（3）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE

AC=DC

∠CAE=∠D

∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=√(2)CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=√(2)CB．