求由曲线y=1x，直线y=4x和x=2所围成的平面图形的面积，以及此图形绕x轴旋转而得的旋转体体积．

Question

求由曲线y=(1)/(x)，直线y=4x和x=2所围成的平面图形的面积，以及此图形绕x轴旋转而得的旋转体体积．

Answer 1

根据题意可以画出函数图象，所围面积如图阴影部分

y＝(1)/(x)

y＝4x

⇒x2＝(1)/(4)⇒x＝±(1)/(2)
由题意知所围图形面积为s＝

∫

2 (1)/(2)

(4x−(1)/(x))dx=

(2x2−lnx)|

2 (1)/(2)

＝8−ln2−(1)/(2)+ln(1)/(2)＝(15)/(2)−2ln2
所求体积为y=4x绕x轴的体积减去y=(1)/(x)绕x轴的体积，
v＝π

∫

2 (1)/(2)

(4x)2dx−π

∫

2 (1)/(2)

((1)/(x))2dx=π•(16)/(3)

x3|

2 (1)/(2)

+π

(1)/(x)|

2 (1)/(2)

＝(16π)/(3)(8−(1)/(8))+π((1)/(2)−2)＝(81)/(2)π