如图，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°，求证：MN2=AM2+BN2．

Question

如图，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°，求证：MN²=AM²+BN²．

Answer 1

证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=45°，
把△AMC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，
由旋转的性质得，AM=BD，CM=CD，∠BCD=∠ACM，∠CBD=∠A=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCN=∠BCD+∠BCN=∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°，
∴∠DCN=∠MCN，
在△CMN和△DCN中，

CM=CD

∠DCN=∠MCN

CN=CN

，
∴△CMN≌△DCN（SAS），
∴MN=DN，
∵∠NBD=∠ABC+∠CBD=45°+45°=90°，
∴△BDN是直角三角形，
∴DN²=BD²+BN²，
∴MN²=AM²+BN²．