请问以下推论以及公式是否成立给出下列两组勾股数公式（未经许可,禁止用于商业范畴）4n,4n²-1,4n²+1是一组勾股数（n为正整数）2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1是一组勾股数（n为正整数

Question

请问以下推论以及公式是否成立
给出下列两组勾股数公式（未经许可,禁止用于商业范畴）
4n ,4n²-1 ,4n²+1 是一组勾股数（n为正整数）
2n+1 ,2n²+2n ,2n²+2n+1 是一组勾股数（n为正整数）
（本人推论：没有一组最简勾股数中任意两数之差为3）（最简勾股数：即3个勾股数没有公因数）

Answer 1

命题成立.
设方程为a²+b²=c².
如果|b-a|=3,则a和b模3同余,若a不是3的倍数,则a²模3余1,同理b²模3余1,则c²模3余2,不可能是完全平方数.所以必须有3|a和3|b,因此3|c,所以(a,b,c)不是最简的勾股数组合.
如果|c-a|=3或|c-b|=3,不妨设c-b=3,则a²=c²-b²=(b+3)²-b²=6b+9,所以a²是3的倍数,所以也是9的倍数,因此可得6b+9是9的倍数,所以b是3的倍数,所以c也是3的倍数,所以(a,b,c)不是最简的勾股数组合.