如图在三角形abc中,角abc与角acb外角的平分线相交于点p,试说明p等于九十度减二分之一角a.

Question

如图在三角形abc中,角abc与角acb外角 的平分线相交于点p,试说明p等于九十度减二分之一角a.

Answer 1

（1）∵∠OBC=1/2∠ABC
∠OCB=1/2∠ACB
∴∠BOC=180-∠OBC-∠OCB
=180-1/2(∠ABC+∠ACB)
而∠ACB+∠ABC=180-∠A
∴∠BOC=180-1/2(180-∠A)
=180-90+1/2∠A
=90+1/2∠A
即∠BOC=90+1/2∠A

（2）在△DBC中
∠D=180-(∠DBC+∠DCB)
而
∠DBC=1/2∠EBC=1/2(∠A+∠ACB)
∠DCB=1/2∠FCB=1/2(∠A+∠ABC)
则∠D=180-(∠A+1/2(∠ACB+∠ABC))
在△ABC中
∠ABC+∠ACB=180-∠A
所以
∠D=180-(∠A+1/2(180-∠A))=90-1/2∠A.
（3）
∵∠DCE＝1/2∠ACE(已知）
又∵∠DCE＝1/2ABC＋∠D （三角形的外角等于它不相邻的两个内角和）
∴1/2∠ACE＝1/2ABC＋∠D （等量代换）
1/2∠ACE－1/2ABC＝∠D(移项)
∵∠ACE＝∠ABC＋∠A（三角形的外角等于它不相邻的两个内角和）
1/2∠ACE＝1/2∠ABC＋1/2∠A(两边乘以1/2)
1/2∠ACE－1/2∠ABC＝1/2∠A（移项）
∴∠D＝1/2∠A（等量代换）
∠A=2∠D