为什么积分有两种含义,一个是∫x^ndx=(n+1)x^(n+1),还有是∑,这之间究竟有什么联系啊.如题是∫x^ndx=1/(n+1)x^(n+1)

Question

为什么积分有两种含义,一个是∫x^n dx=(n+1)x^(n+1),还有是∑,这之间究竟有什么联系啊.
如题
是∫x^n dx=1/(n+1) x^(n+1)

Answer 1

1、用求和符号表示∑是本意,是真正的意思,是原本的意思.
是把曲线下面积分割成很多个小小的长方形,每个长方形的面积之和,
就用符号∑表示.∑读音是sigama.
2、用符号∑来表示,只是近似的概念.我们将每个长方形的底宽趋向于0,
这样小小的,很窄很窄的长方形就变成无数多个,这就是取极限了.
也就是lim∑f(xi)△x.
3、lim∑f(xi)△x的写法很烦,而且只有在叙述原理时,或者在证明定理和公式时,
才这样写,但是在计算时,这样的写法太罗嗦,很不方便,就记成∫f(x)dx.
总结：
∫f(x)dx的含义完全与lim∑f(xi)△x等同,本质是完全一样的,∫f(x)dx只是计算时的简便表示,
并无新意,毫无二致.平时计算都时用∫f(x)dx这样的简洁表示法.