设总体X的概率密度为f（x）=βxβ−1，0＜x＜10，其他（β＞0），x1，x2，…，xn是来自总体的样本，求参数β的矩估计量和极大似然估计量．

Question

设总体X的概率密度为f（x）=

βxβ−1，0＜x＜1

0，其他

（β＞0），x₁，x₂，…，x_n是来自总体的样本，求参数β的矩估计量和极大似然估计量．

Answer 1

∵EX＝

∫

+∞ −∞

xf(x，β)dx=

∫

+∞ 1

βxβdx=(β)/(β+1)
令EX＝

.

X

，则

.

X

＝(β)/(β+1)
解得：β＝(.X)/(1−.X)
即β的矩估计量为

β

＝(.X)/(1−.X)
∵似然函数为：
L(x1，x2，…，xn；β)＝

n

π

i＝1

βxiβ−1=βn(x1x2…xn)β−1，x_i＞1（i=1，2，…，n）
∴lnL=nlnβ+（β-1）ln（x₁x₂…x_n）=nlnβ+(β−1)

n

i＝1

lnxi
∴(dlnL)/(dβ)＝(n)/(β)+

n

i＝1

lnxi
令(dlnL)/(dβ)＝0，解得
β＝−(n)/(ni＝1lnxi)
即β的极大似然估计量为

β

＝−

作业帮用户 2017-11-04

问题解析

首先将EX求出来，用样本均值代替EX，即可得到β的矩估计；其次，构造似然函数，取自然对数，求导，求得参数β的最大似然估计量．

名师点评

本题考点：

最大似然估计法；构造估计量的矩估计法．

考点点评：

此题考查矩估计量和极大似然估计量的求法，采用的常规方法，要熟练掌握．

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