解不等式,关于三角函数的,当 0≤x≤π/22a(1-a)×(Sin(x)+Cos(x)-1)+a^2×Sin(2x)≤3 横成立求a范围?

Question

解不等式,关于三角函数的,
当 0≤x≤π/2
2a(1-a)×(Sin(x)+Cos(x)-1)+a^2×Sin(2x)≤3 横成立
求a范围?

Answer 1

设t=sinx+cosx
∵0≤x≤π/2
∴1≤t≤√2
则sin2x=2sinxcosx=(sinx+cosx)²-1=t²-1
原不等式变为
2a(1-a)(t-1)+a²(t²-1)≤3
移项,分离,化简得
a²t²+2a(1-a)t+a²-2a-3≤0
设f(t)=a²t²+2a(1-a)t+a²-2a-3=(at+3-a)(at-1-a)
在条件1≤t≤√2下,f(t)≤0恒成立
显然,当a=0时,f(t)≤0恒成立；
当a≠0时,令f(t)=0,得到方程的两个根,t1=1-3/a,t2=1+1/a
(1)当a>0时,t2>t1,要使f(t)≤0恒成立,只须
t1≤1
t2≥√2
解得,0