组合数的求法是怎么想到和阶乘有关系的?比如AABBABABABBABAAB...总共有4*3/2*1=6种排法这里面4,3,2,1这些数分别是什么意义?

Question

组合数的求法是怎么想到和阶乘有关系的?
比如
AABB
ABAB
ABBA
BAAB
...
总共有 4*3/2*1=6种排法
这里面 4,3,2,1这些数分别是什么意义?

Answer 1

这是一个个确定的,首先假设4个是不一样的~
如abcd可以多取
以每个位置有4种可能,所以4*4*4*4=64种可能
接下来是不可重复取的
那么一旦你选第一个第二个的可能就只有3个了
所以是4*3*2*1=4!=24
接下来是重复的
我们假设现在是aabc
那么有
假设第一个选了a,那么剩下的是上面一种算法3*2*1=6
第一个选了b或c,那么我们回到这种算法,假设第二个a,那么就有2*1=2
假设第二个是c或b,那么再回到这种算法这时只有1（这里是一个归纳法）
总的就有3*2*1+2*（2*1+1*1）=12用归纳法推广可以得到答案公式.
还有另一种理解我们先假设aabc是adbc,那么就有4*3*2*1=24种,考虑到ad为一样的所以除以2,24/2=12种.
在推广,现在假设是情况aabb
那么用刚才的想法有4*3*2*1=24种,不算重复的
我们先假设为aabc于是有4*3*2*1/2=12种
同样的在假设为aabb,那么就只有（4*3*2*1/2）/2=6种.
这是针对特例的,其中的aabc中除以2,是假设aa不同,那么ad有两种排法2!,如果是aaabc,那么我们假设成adebc,这是ade就有3!种排法,就要除以3!.
对于公式里的（4!/2!）2!应该理解为4个数的组合除以其中2个数重复再除以2个数重复.