已知双曲线C与椭圆x2+5y2=5有共同的焦点，且一条渐近线方程为y＝3x（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C的焦点分别为F1、F2，过焦点F1作实轴的垂线与双曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面

Question

已知双曲线C与椭圆x²+5y²=5有共同的焦点，且一条渐近线方程为y＝√(3)x
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₁作实轴的垂线与双曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．

Answer 1

（1）由椭圆x²+5y²=5化为(x2)/(5)+y2＝1，∴c＝√(5−1)＝2，其焦点为（±2，0）．
设双曲线为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1，则渐近线为y＝±(b)/(a)x，
∴

(b)/(a)＝√(3)

a2+b2＝4

解得a²=1，b²=3，
∴双曲线为x2−(y2)/(3)＝1．
（2）∵F₁（-2，0），F₂（2，0）．
∴可设A（-2，y₁），B（-2，y₂），（y₁＞y₂），代入双曲线方程(−2)2−(y21)/(3)＝1，解得y₁=3，同理解得y₂=-3，∴|AB|=y₁-y₂=6．
又|F₁F₂|=2c=4．
∴S△ABF2=(1)/(2)|AB|•|F1F2|=(1)/(2)×6×4=12．