高二双曲线题双曲线x2-y2=a2(a>0)的左,右顶点分别为A,B,直线l垂直于实轴所在的直线且与双曲线交于P,Q两点,求证；∠PAQ+∠PBQ=180°为什么x0^2-y0^2=a^2啊~

Question

高二双曲线题
双曲线x2-y2=a2(a>0)的左,右顶点分别为A,B,直线l垂直于实轴所在的直线且与双曲线交于P,Q两点,求证；∠PAQ+∠PBQ=180°
为什么x0^2-y0^2=a^2啊~

Answer 1

假设该直线l交双曲线的右支,P(x0,y0)为第一象限直线与双曲线的交点.由方程可知双曲线的焦点在x轴上,设直线与x轴的焦点为M.以PQ为对称轴作△PBQ的对称图形△PNQ,N在x轴上,则此时∠PBQ=∠PNQ.PM=y0,MA=x0+a,MN=x0-a,P在双曲线上,有x0^2-y0^2=a^2,从而就有y0^2=(x0-a)(x0+a),所以PM^2=MA*MN,又因为PM⊥x轴,所以由射影定理的逆定理可知PA⊥PN,再由x轴的对称可知∠APN=∠AQN=90°,四边形APNQ的内角和是360°,所以∠PAQ+∠PNQ=180°,∠PBQ=∠PNQ,所以∠PAQ+∠PBQ=180°,同理当直线l交双曲线的左支时也能有上述结果,即得证.
用到了射影定理的逆定理和平面几何的一些知识,应该能看得懂吧.有疑问的话还可以再提.