如图，已知过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A（-a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ=2QA

Question

如图，已知过椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）的左顶点A（-a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且

PQ

=2

QA

，则椭圆的离心率为______．

Answer 1

∵△AOP是等腰三角形，A（-a，0）∴P（0，a）．
设Q（x ₀ ，y ₀ ），∵

PQ

=2

QA

，∴（x ₀ ，y ₀ -a）=2（-a-x ₀ ，-y ₀ ）．
∴

x 0 =-2a-2 x 0

y 0 -a=-2 y 0

，解得

x 0 =-(2)/(3) a

y 0 =(1)/(3) a

．
代入椭圆方程得 ((4)/(9)a2)/(a2) +((1)/(9)a2)/(b2) =1 ，化为 (b2)/(a2) =(1)/(5) ．
∴ e=(c)/(a) =

1-(b2)/(a2)

= (25)/(5) ．
故答案为 (25)/(5) ．