已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.22D.23

Question

已知F₁、F₂为双曲线的焦点，过F₂垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF₁交y轴于点C，若AC⊥BF₁，则双曲线的离心率为（　　）

A.

√(2)

B.

√(3)

C. 2

√(2)

D. 2

√(3)

Answer 1

由题意可知：设椭圆的方程为：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1，（a>0，b>0），
由AB为双曲线的通径，则A（c，(b2)/(a)），B（c，-(b2)/(a)），F₁（-c，0），
由OC为△F₁F₂B中位线，
则丨OC丨=(b2)/(2a)，则C（0，-(b2)/(2a)），
则

AC

=（-c，-(3b2)/(2a)），

BF1

=（-2c，(b2)/(a)），
由AC⊥BF₁，则

AC

•

BF1

=0，
则2c²-(3b4)/(2a2)=0
整理得：3b⁴=4a²c²，
由b²=c²-a²，3c⁴-10a²c²+3a⁴=0，
椭圆的离心率e=(c)/(a)，则3e⁴-10e²+3=0，解得：e²=3或e²=(1)/(3)，
由e>1，则e=√(3)，
故选B．