如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为3，则∠BDF的余弦值是（）A

Question

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为3，则∠BDF的余弦值是（　　）

A．(√(17))/(51)
B．(2√(7))/(51)
C．(3√(17))/(51)
D．(5√(17))/(51)

Answer 1

由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），(c)/(a)=3．
∴BF=c-a=2a，BD 的方程为(x)/(−a)+(y)/(b)＝1，即bx-ay+ab=0，
DC的方程为(x)/(−c)+(y)/(b)=1，即bx+cy+bc=0，即bx+3ay+3ab=0，
联立，可得D（-(3a)/(2)，-(b)/(2)），又b=2√(2)a，
∴FD=(√(17))/(2)a，BD=(3a)/(2)，
△BDF中，由余弦定理得4a²=(17)/(4)a²+(9)/(4)a²-2•(√(17))/(2)•(3a)/(2)cos∠BDF，
∴cos∠BDF=(5√(17))/(51)．
故选：D．