已知一个数列的各项都是1或2．首项为1，且在第个1和第个1之间有个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前项的和为．参考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980

Question

已知一个数列 的各项都是1或2．首项为1，且在第 个1和第 个1之间有 个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前 项的和为 ．
参考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070，2011×2012＝4046132
（１）试问第2012个1为该数列的第几项？
（２）求 和 ；
（３）（特保班做）是否存在正整数 ，使得 ？如果存在,求出 的值；如果不存在,请说明理由．

Answer 1

（１）4046133（２） ， （３）存在， =993+29=1022

本小题关键是读懂题意归纳出规律：将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，即　(1,2)为第1对，共1+1=2项；(1,2,2,2)为第2对，共1+3=4项；….
从而可归纳出 为第k对，共 项, 故前k对共有项数为 .
（1）（2）在此基础上容易解决.
（3）解本小题的关键是确定前k对所在全部项的和为 ,问题到此基本得以解决.
将第 个1与第 个1前的2记为第 对，
即　 为第1对，共 项；
为第2对，共 项；……；
为第k对，共 项；
故前k对共有项数为 ．
（１）第2012个1所在的项之前共有2011对，所以2012个1为该数列的
2011×(2011+1)+1=4046133（项）
（２）因44×45=1980，45×46=2070， ，
故第2012项在第45对中的第32个数，从而
　　　又前2012项中共有45个1，其余2012－45＝1967个数均为2，
于是
（３）前k对所在全部项的和为 ，易得，
， ，
即 且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在 =993+29=1022，使 ．