已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足anbn=n，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，首项a₁=1，公比q>0，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列，
∴2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁，
∴2a1(1+q+2q2)=3a₁+2a₁q，
化为4q²=1，公比q>0，
∴q=(1)/(2)．
∴a_n=((1)/(2))n-1．
（2）∵a_nb_n=n，
∴b_n=n•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=(1-2n)/(1-2)-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．