已知数列{an}中（1）a1=1,且anan+1=4^n,求通项公式.求救!急救!已知数列{an}中（1）a1=1,且anan+1=4^n,求通项公式.本题我想了半个小时了,据说好像要分n为奇数,n为偶数两种情况讨论.可是我想不通,为什

Question

已知数列{an}中（1）a1=1,且anan+1=4^n,求通项公式.求救!急救!
已知数列{an}中（1）a1=1,且anan+1=4^n,求通项公式.
本题我想了半个小时了,据说好像要分n为奇数,n为偶数两种情况讨论.可是我想不通,为什么要将n分类?直接用anan+1/an-1an * an-2an-1/an-3an-2 * …… * a2a3/a1a2=an+1/a1=4^(n-1)
然后求得an+1=a1*4^(n-1),an=a1*4^(n-2)不就OK了吗.结果看完答案以后,才发现我做的答案很天真.各位同学老师,能告诉我我错在哪一步了吗?我觉得没必要对n进行讨论啊!

Answer 1

a1=1
anan+1=4^n
an+1=4^n/an
a2=4^1/a1=4/1=4
a3=4^2/a2=4^2/4=4
a4=4^3/a3=4^3/4=4^2
a5=4^4/a4=4^4/4^2=4^2
a6=4^5/a5=4^5/4^2=4^3
a7=4^6/a6=4^6/4^3=4^3
a8=4^7/a7=4^7/4^3=4^4

:
所以
n=2k, an=4^k
n=2k+1, an=4^k
证明
1.n=1, k=0, a1=4^0=1
n=2, k=1, a2=4^1/a1=4^1=4
n=3, k=1, a3=4^2/a2=4^2/4=4
结论成立
2.假设 n=2k, an=a2k=4^k; n+1=2k+1,an+1=a2k+1=4^k
anan+1=4^k*4^k=4^(2k)
则an+1an+2=4^(n+1)
an+2=4^(n+1)/an+1=4^(2k+1)/4^k=4^(2k+1-k)=4^(k+1)
an+2an+3=4^(n+2)
an+3=4^(n+2)/an+2=4^(2k+2)/4^(k+1)=4^(2k+2-k-1)=4^(k+1)
即n=k+1时,等式也成立
由归纳法知:
an=4^k (n=2k, n=2k+1)