如已知函数y=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)的定义域为R,值域为[1,9],求常数m,n的值.

Question

如已知函数y=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)的定义域为R,值域为[1,9],求常数m,n的值.

Answer 1

mx²+8x+n=yx²+y
(m-y)x²+8x+(n-y)=0
因为关于x的方程有解,所以判别式
Δ=64-4(m-y)(n-y)≥0
(y-m)(y-n)≤16
y²-(m+n)y+(mn-16)≤0;
因为函数的值域为[1,9]
所以y=1,y=9是方程
y²-(m+n)y+(mn-16)=0的两根；
{1+9=m+n
{1*9=mn-16
{m+n=10
{mn=25
所以
(m-n)²=(m+n)²-4mn=100-100=0
m=n
m=n=5