1..已知常数a,b和正变量x,y满足a+b=10,a\x+b\y=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.2.已知关于x的不等式8x^4+8(k-2)x²-k+5＞0的解集为全体实数,求k的取值范围.

Question

1..已知常数a,b和正变量x,y满足a+b=10,a\x+b\y=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.
2.已知关于x的不等式8x^4+8(k-2)x²-k+5＞0的解集为全体实数,求k的取值范围.

Answer 1

1 解
因为a\x+b\y=1,x+y的最小值为18
所以（x+y）*1的最小值为18,则（x+y）*（a\x+b\y）的最小值为18
化简后a+b+(y/x)*a+(x/y)*b的最小值为18
又因为a+b=10,
所以(y/x)*a+(x/y)*b的最小值为8
又因为(y/x)*a+(x/y)*b大于等于2*√(y/x)*a*(x/y)*b （注：√是根号 *是乘号）
所以2*√(y/x)*a*(x/y)*b =8,可得a*b=16
因为a+b=10 a*b=16
所以a与b为2与8或8与2
2 解
设m=x²,y=8x^4+8(k-2)x²-k+5,所以y=8m²+8(k-2)m-k+5
因为关于x的不等式8x^4+8(k-2)x²-k+5＞0的解集为全体实数,
所以x²可以取大于等于0的任意值,所以m大于等于0时y=8m²+8(k-2)m-k+5大于等于0
（1）当y的对称轴m=-(k-2)\2小于等于0时
只须使m=0时y大于等于0,此时解得2≤k＜5
(2) 当y的对称轴m=-(k-2)\2大于0时
只须使y=8m²+8(k-2)m-k+5上的最低点大于0,此时解得0.5＜k＜2
综上所述,k的取值范围是（0.5,5） （即0.5＜k＜5）