假设地球赤道是一个圆周,对于该圆周上的点的连续函数,例如温度,证明在这个赤道内必有一条直径,它的两个端点温度相同

Question

假设地球赤道是一个圆周,对于该圆周上的点的连续函数,例如温度,证明在这个赤道内必有一条直径,它的两个端点温度相同

Answer 1

设f(x,y)是定义在圆周L：x^2+y^2=R^2上的一个二元连续函数,L的上半圆周上的任意一点(x,y)=(x,sqrt(R^2-x^2))关于原点的对称点为(-x,-y)=(-x,-sqrt(R^2-x^2)).做辅助函数
F(x)=f(x,sqrt(R^2-x^2))-f(-x,-sqrt(R^2-x^2)),
则函数F(x)在[－R,R]上是连续函数,且
\x05\x05\x05 F(-R)=f(-R,0)-f(R,0),
\x05\x05\x05 F(R)=f(R,0)-f(-R,0)=-F(-R).
1)若F(R)=0,是f(-R,0)=f(R,0),即命题成立.
2)若F(R)不为0,则不防设F(R)>0,则F(-R)=-F(R)