过抛物线y2=2px(p＞0)上一定点P(x0,y0)(y0＞0)作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1）、B(x2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补

Question

过抛物线y ² =2px(p＞0)上一定点P(x ₀ ,y ₀ )(y ₀ ＞0)作两条直线分别交抛物线于A（x ₁ ,y ₁ ）、B(x ₂ ,y ₂ ).
(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

Answer 1

(1)点M( , )到F的距离为 -(- )= .
(2)证明见解析

（1）当y= 时，x= .
又抛物线y ² =2px(p>0)的准线方程为x=- ,
则点M( , )到F的距离为 -(- )= .
(2)设直线PA的斜率为k _PA ,直线PB的斜率为k _PB .
由 y ₁ ² -y ₀ ² =2p(x ₁ -x ₀ ),
则k _PA = (x ₁ ≠x ₀ ).
同理,得k _PB = (x ₂ ≠x ₀ ).
由PA、PB的倾斜角互补知k _PA =-k _PB ,
即 =- ,
即y ₁ +y ₂ =-2y ₀ ,故 =-2.
设直线AB的斜率为k _AB .
由 y ₁ ² -y ₂ ² =2p(x ₁ -x ₂ ),
∴k _AB = (x ₁ ≠x ₂ ).
将y ₁ +y ₂ =-2y ₀ (y ₀ ＞0)代入上式得
k _AB = .(P(x ₀ ,y ₀ )为一定点,y ₀ >0)
则k _AB =- 为非零常数.