如图1所示，已知y=6x（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN

Question

如图1所示，已知y=(6)/(x)（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2√(3)，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

Answer 1

（1）如图2，连接OP．
S_△PAB=S_△PAO=(1)/(2)xy=(1)/(2)×6=3；

（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=(1)/(2)AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，

BQ＝NQ

∠BQA＝∠NQA

QA＝QA

，
∴△ABQ≌△ANQ（SAS），
∴∠BAQ=∠NAQ=30°，
∴∠BAO=30°，
∵S_菱形BQNC=2√(3)=(1)/(2)×CQ×BN，
令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t×(√(3))/(2)）=2√(3)t，
∴t=1
∴BQ=2，
∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，
∴AB=√(3)BQ=2√(3)，
∵∠BAO=30°
∴OA=(√(3))/(2)AB=3，
又∵P点在反比例函数y=(6)/(x)的图象上，
∴P点坐标为（3，2）；

（3）∵OB=1，OA=3，
∴AB=√(10)，
易得△AOB∽△DBA，
∴(OB)/(OA)＝(AB)/(BD)，
∴BD=3√(10)，

①如图3，当点Q在线段BD上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=(1)/(2)AQ，
∵四边形BQNC是平行四边形，
∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，
∴(CN)/(QD)=(AC)/(AQ)=(1)/(2)，
∴BQ=CN=(1)/(3)BD=√(10)，
∴AQ=√(AB2+BQ2)=2√(5)，
∴C_{四边形BQNC}=2√(10)+2√(5)；

②如图4，当点Q在射线BD的延长线上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=CQ=(1)/(2)AQ，
∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，
∴△BND∽△QAD
∴(BD)/(QD)=(BN)/(AQ)=(1)/(2)，
∴BQ=3BD=9√(10)，
∴AQ=√(AB2+BQ2)=√((√(10))2+(9√(10))2)=2√(205)，
∴C_{四边形BNQC}=2AQ=4√(205)．