如图所示，AB为倾角θ=37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP为圆心角等于143°、半径R=lm的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定

Question

如图所示，AB为倾角θ=37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP为圆心角等于143°、半径R=l m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，另一自由端在斜面上C点处，现有一质量m=2kg的小物块在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D点后（不栓接）释放，物块经过C点后，从C点运动到B点过程中的位移与时间的关系为x=12t-4t²（式中x单位是m，t单位是s），假设物块第一次经过B点后恰能到达P点，sin 37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．试求：

（1）若CD=1m，试求物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功；
（2）B、C两点间的距离x；
（3）若在P处安装一个竖直弹性挡板，小物块与挡板碰撞后速度反向，速度大小不变，小物块与弹簧相互作用不损失机械能，试通过计算判断物块在第一次与挡板碰撞后的运动过程中是否会脱离轨道？

Answer 1

（1）由x=12t-4t²知，物块在C点速度为：v₀=12 m/s，
设物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功为W，由动能定理得：
W-mgsin 37°•CD=(1)/(2)mv02
代入数据得：W=(1)/(2)mv02+mgsin 37°•CD=156 J
（2）由x=12t-4t²知，物块从C运动到B的加速度大小为：a=8 m/s²，
物块在P点的速度满足：mg=(mvP2)/(R)
物块从B运动到P的过程中机械能守恒，则有：
(1)/(2)mvB2=(1)/(2)mvP2+mghPB
物块从C运动到B的过程中有：vB2-v02=-2ax
由以上各式解得：x=6.125m 
（3）设物块与斜面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得：
mgsin θ+μmgcos θ=ma        
代入数据解得：μ=0.25                                       
假设物块第一次从圆弧轨道返回并与弹簧相互作用后，能够回到与O点等高的位置Q点，且设其速度为v_Q，由动能定理得：
(1)/(2)mvQ2-(1)/(2)mvP2=mgR-2μmgxcos37°
解得：vQ2=-19<0                                          
可见物块返回后不能到达Q点，故物块在以后的运动过程中不会脱离轨道．    
答：（1）物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功是156J；
（2）B、C两点间的距离x_BC是6.125m；
（3）物块在第一次与挡板碰撞后的运动过程中不会脱离轨道．