如图，有一块边长为a的正三角形的铁皮，在正三角形的三个角上剪去三个相同的四边形，余下部分按图中的虚线剪割，可焊接成一个缺上盖的正三棱柱容器，当容积最大时，能否用

Question

如图，有一块边长为 a 的正三角形的铁皮，在正三角形的三个角上剪去三个相同的四边形，余下部分按图中的虚线剪割，可焊接成一个缺上盖的正三棱柱容器，当容积最大时，能否用边角废料焊接成容器的上盖？如果能，则说明理由；如果不能，则如何剪接，可使容器有上盖且容积最大？

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Answer 1

解析：如题图所示，设 A D= x 则 P Q= a -2 x ，高 h = P D= x .

       ∴ V ( x )= ( a -2 x ) ² · = (4 x ³ -4 ax ² + a ² x )(0< x < ).

       对其求导，得 V ′( x )= (12 x ² -8 ax + a ² ).

       令 V ′( x )=0 得 x = 或 x = (舍).

       又当 x ∈(0 )时， V ′( x )>0 当 x ∈( )时， V ′( x )<0，

       ∴当 x = 时，即 P Q= a -2 x = 时， V ( x )取得最大值.

       故当容器的底面边长为 时，容器的容积最大.

       当 x = 时，则剩下来的三个边角只能拼成一个边长为 的小正三角形，因而它不能焊接成容器的上盖.

       由于剩下来的三个边角只能拼成一个边长为2 x 的正三角形，

       因此要使剩下来的废料能拼接成容器的上盖，

       则2 x ≥ a -2 x ，即 x ≥ .

       而 V ( x )在［ ］上递减，

       当 x = ，即 a -2 x = 时， V ( x )取得最大值.

       故剪接时使容器的底面边长为 时，其边角废料能焊接成容器的上盖且容积最大.