在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为π3，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）A．5B．32C．10D．52

Question

在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为(π)/(3)，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（　　）

A．5
B．(3)/(2)
C．10
D．(5)/(2)

Answer 1

由于侧面与底面所成角为(π)/(3)，可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为a，则斜高也为a，进而可得侧棱长为
(√(5)a)/(2)，高为(√(3)a)/(2)
四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为(√(3)a)/(6)，
其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，半径为R，球心为O，顶点为P，底面中心为O₁，底面一个顶点为B，则OB=OP，

于是就有：（(√(3)a)/(2)-R）²+（(√(2)a)/(2)）²=R²
解得R=(5√(3)a)/(12)．
所以两者的比为：(5)/(2)．
故选D