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如果一个三角形的三边a,b,c能满足a2+b2=nc2(n为正整数),那么这个三角形叫做“n阶三角形”.如三边分别为1、2、5的三角形满足“12+22=1×(5)2,所以它是1阶三角形,但同时也满足“(5
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如果一个三角形的三边a,b,c能满足a2+b2=nc2(n为正整数),那么这个三角形叫做“n阶三角形”.如三边分别为1、2、
的三角形满足“12+22=1×(
)2,所以它是1阶三角形,但同时也满足“(
)2+22=9×12,所以它也是9阶三角形.显然,等边是三角形是2阶三角形,但2阶三角形不一定是等边三角形.
(1)在我们熟知的三角形中,何种三角形一定是3阶三角形?
(2)若三边分别是x,y,z(x<y<z)的直角三角形是一个2阶三角形,求x:y:z.
(3)如图1,直角△ABC是2阶三角形,AC<BC<AB,三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形?四位同学作了猜想:
A同学:是2阶三角形但不是直角三角形; B同学:是直角三角形但不是2阶三角形;
C同学:既是2阶三角形又是直角三角形; D同学:既不是2阶三角形也不是直角三角形.
请你判断哪位同学猜想正确,并证明你的判断.
(4)如图2,矩形OACB中,O为坐标原点,A在y轴上,B在x轴上,C点坐标是(2,1),反比例函数y=
(k>0)的图象与直线AC、直线BC交于点E、D,若△ODE是5阶三角形,直接写出所有可能的k的值.

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(1)在我们熟知的三角形中,何种三角形一定是3阶三角形?
(2)若三边分别是x,y,z(x<y<z)的直角三角形是一个2阶三角形,求x:y:z.
(3)如图1,直角△ABC是2阶三角形,AC<BC<AB,三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形?四位同学作了猜想:
A同学:是2阶三角形但不是直角三角形; B同学:是直角三角形但不是2阶三角形;
C同学:既是2阶三角形又是直角三角形; D同学:既不是2阶三角形也不是直角三角形.
请你判断哪位同学猜想正确,并证明你的判断.
(4)如图2,矩形OACB中,O为坐标原点,A在y轴上,B在x轴上,C点坐标是(2,1),反比例函数y=
k |
x |

▼优质解答
答案和解析
(1)等腰直角三角形一定是3阶三角形,
理由为:设等腰直角三角形两直角边为a,a,
根据勾股定理得:斜边为
a,
则有a2+(
a)2=3a2,即等腰直角三角形一定是3阶三角形;
(2)∵△ABC为一个2阶直角三角形,
∴z2=x2+y2,且z2+x2=2y2,
两式联立得:2x2+y2=2y2,
整理得:y=
x,z=
x,
则x:y:z=1:
:
;
(3)C同学猜想正确,

证明如下:如图,∵△ABC为2阶直角三角形,
∴AC:BC:AB=1:
:
,
设BC=2
,AC=2,AB=2
,
∵AE,BD,CF是Rt△ABC的三条中线,
∴AE2=6,BD2=9,CF2=3,
∴BD2+CF2=2AE2,AE2+CF2=BD2,
∴BD,AE,CF所构成的三角形既是直角三角形,又是2阶三角形;
(4)根据题意设E(k,1),D(2,
),
则AE=k,EC=2-k,BD=
,CD=1-
,OA=1,OB=2,
根据勾股定理得:OE2=1+k2,OD2=4+
,ED2=(2-k)2+(1-
)2,
由△ODE是5阶三角形,分三种情况考虑:
当OE2+OD2=5ED2时,即1+k2+4+
=5[(2-k)2+(1-
)2],
整理得:k2-5k+4=0,即(k-1)(k-4)=0,
解得:k=1或k=4;
当OE2+ED2=5OD2时,(2-k)2+(1-
)2+1+k2=5(4+
),
整理得:k2-5k-14=0,即(k-7)(k+2)=0,
解得:k=7或k=-2(舍去);
当OD2+ED2=5OE2时,4+
+(2-k)2+(1-
)2=5(1+k2),
整理得:7k2+10k-8=0,即(7k-4)(k+2)=0,
解得:k=
或k=-2(舍去),
综上,满足题意k的值为1,4,7,
.
理由为:设等腰直角三角形两直角边为a,a,
根据勾股定理得:斜边为
2 |
则有a2+(
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(2)∵△ABC为一个2阶直角三角形,
∴z2=x2+y2,且z2+x2=2y2,
两式联立得:2x2+y2=2y2,
整理得:y=
2 |
3 |
则x:y:z=1:
2 |
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(3)C同学猜想正确,

证明如下:如图,∵△ABC为2阶直角三角形,
∴AC:BC:AB=1:
2 |
3 |
设BC=2
2 |
3 |
∵AE,BD,CF是Rt△ABC的三条中线,
∴AE2=6,BD2=9,CF2=3,
∴BD2+CF2=2AE2,AE2+CF2=BD2,
∴BD,AE,CF所构成的三角形既是直角三角形,又是2阶三角形;
(4)根据题意设E(k,1),D(2,
k |
2 |
则AE=k,EC=2-k,BD=
k |
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k |
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根据勾股定理得:OE2=1+k2,OD2=4+
k2 |
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k |
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由△ODE是5阶三角形,分三种情况考虑:
当OE2+OD2=5ED2时,即1+k2+4+
k2 |
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k |
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整理得:k2-5k+4=0,即(k-1)(k-4)=0,
解得:k=1或k=4;
当OE2+ED2=5OD2时,(2-k)2+(1-
k |
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k2 |
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整理得:k2-5k-14=0,即(k-7)(k+2)=0,
解得:k=7或k=-2(舍去);
当OD2+ED2=5OE2时,4+
k2 |
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k |
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整理得:7k2+10k-8=0,即(7k-4)(k+2)=0,
解得:k=
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综上,满足题意k的值为1,4,7,
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